1) ĐK: \(x\ge1\)

Pt \(\Leftrightarrow\sqrt{5x-1}-3-\left(\sqrt{3x-2}-2\right)-\left(\sqrt{x-1}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{5x-1-9}{\sqrt{5x-1}+3}-\frac{3x-2-4}{\sqrt{3x-2}+2}-\frac{x-1-1}{\sqrt{x-1}+1}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{5\left(x-2\right)}{\sqrt{5x-2}+3}-\frac{3\left(x-2\right)}{\sqrt{3x-2}+2}-\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(\frac{5}{\sqrt{5x-2}+3}-\frac{3}{\sqrt{3x-2}+2}-\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=2\) (nhận)

2) ĐK: \(0\le x\le1\)

Đặt \(a=\sqrt{x};b=\sqrt{1-x}\left(a,b\ge0\right)\)

ta có \(a^2+b^2=1\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-2ab=1\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=1+2ab\left(1\right)\)

Pt đã cho trở thành: \(1+\frac{2}{3}ab=a+b\left(2\right)\)

Thế (2) vào (1) ta được: \(1+2ab=\left(1+\frac{2}{3}ab\right)^2\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}ab=\frac{3}{2}\\ab=0\end{array}\right.\)

Thế ab = 3/2 vào (1) được a + b = 2, khi đó a, b là hai nghiệm của pt:

\(t^2-2t+\frac{3}{2}=0\) (vô nghiệm)

Thế ab = 0 vào (1) được a + b = 1, khi đó a, b là hai nghiệm của pt:
\(t^2-t=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=1\\t=0\end{array}\right.\)

* Khi a = 1, b = 0: pt đã cho có nghiệm x = 1 (nhận)

* Khi a = 0; b = 1: pt đã cho có nghiệm x = 0 (nhận)

2) ĐK: \(x^2+5x+2\ge0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x\le\frac{-5-\sqrt{17}}{2}\\x\ge\frac{-5+\sqrt{17}}{2}\end{array}\right.\)

bpt \(\Leftrightarrow x^2+5x+4-3\sqrt{x^2+5x+2}< 6\)

Đặt \(t=\sqrt{x^2+5x+2}\left(t\ge0\right)\) , bất pt trở thành:

\(t^2+2-3t< 6\Leftrightarrow t^2-3t-4< 0\Leftrightarrow-1< t< 4\)

Kết hợp điều kiện được: \(0\le t< 4\Rightarrow0\le\sqrt{x^2+5x+2}< 4\Leftrightarrow x^2+5x+2< 16\)

\(\Leftrightarrow x^2+5x-14< 0\Leftrightarrow-7< x< 2\)

Kết hợp điều kiện, bất pt đã cho có tập nghiệm:

(-7; \(\frac{-5-\sqrt{17}}{2}\)] \(\cup\) [ \(\frac{-5+\sqrt{17}}{2}\); 2)

\(\left(x+1\right)\left(x-3\right)< 2\sqrt{x^2-2x-3}+3\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)-3\left(x+1\right)< 2\sqrt{x^2-2x-3}+3\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-3x-3< 2\sqrt{x^2-2x-3}+3\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-3< 2\sqrt{x^2-2x-3}+3\) (1)

Đặt \(t=\sqrt{x^2-2x-3}\) ( điều kiện \(t\ge0\) )

\(\Rightarrow bpt\left(1\right)\Leftrightarrow t^2< 2t+3\)

\(\Leftrightarrow t^2-2t-3< 0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t< -1\left(loại\right)\\t>3\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-2x-3}>3\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-3>9\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-12>0\)

\(\Leftrightarrow x\in\left(-\infty;1-\sqrt{13}\right)\cup\left(1+\sqrt{13};+\infty\right)\)

Vậy nghiệm của bất phương trình \(x\in\left(-\infty;1-\sqrt{13}\right)\cup\left(1+\sqrt{13};+\infty\right)\)

1) ĐK: \(\frac{x+1}{x}>0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x>0\\x< -1\end{array}\right.\)

Đặt \(t=\sqrt{\frac{x+1}{x}}\left(t>0\right)\) , bất pt đã cho trở thành:

\(\frac{1}{t^2}-2t>3\Leftrightarrow\frac{1-2t^3-3t^2}{t^2}>0\Leftrightarrow1-2t^3-3t^2>0\)

\(\Leftrightarrow\left(t+1\right)^2\left(1-2t\right)>0\Leftrightarrow1-2t>0\Leftrightarrow t< \frac{1}{2}\)

\(t< \frac{1}{2}\Rightarrow\sqrt{\frac{x+1}{x}}< \frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{x+1}{x}< \frac{1}{4}\Leftrightarrow\frac{3x+4}{4x}< 0\)

Lập bảng xét dấu ta được \(-\frac{4}{3}< x< 0\)

Kết hợp điều kiện ta được: \(-\frac{4}{3}< x< -1\) là giá trị cần tìm

3) Chứng minh BĐT phụ: \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a,b>0\right)\)(1)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{a+b}{4ab}\Leftrightarrow4ab\le\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

Dấu '=' xảy ra ↔ a = b

Áp dụng BĐT trên, ta có:

\(\frac{x}{x+1}=\frac{x}{x+x+y+z}=\frac{x}{x+y+x+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)

Tương tự:

\(\frac{y}{y+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{y}{y+x}+\frac{y}{y+z}\right)\)

\(\frac{z}{z+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)\)

Cộng vế theo vế ba BĐT trên ta được:

\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}+\frac{y}{y+z}\right)\)

\(\Leftrightarrow P\le\frac{1}{4}\left(1+1+1\right)=\frac{3}{4}\)

Dấu '=' xảy ra khi x = y = z = 1/3 (do x + y + z = 1)

Vậy GTLN của P là 3/4 khi x = y = z = 1/3

Bài 2:

Ta có:

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=\left(a+b\right)ab\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+abc\ge\left(a+b\right)ab+abc=\left(a+b+c\right)ab\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{\left(a+b+c\right)ab}\left(1\right)\). Tương tự ta có:

\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{1}{\left(a+b+c\right)bc}\left(2\right);\frac{1}{a^3+c^3+abc}\le\frac{1}{\left(a+b+c\right)ac}\left(3\right)\)

Cộng theo vế của (1),(2),(3) ta có:

\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\)\(\le\frac{1}{a+b+c}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)

\(=\frac{1}{a+b+c}\cdot\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{abc}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

Xe máy thứ nhất 1 giờ đi được 1/4 quảng đường

Xe máy thứ hai 1 giờ đi được 1/3 quảng đường

Sau 1,5 giờ 2 xe đi được:(1/4+1/3)x1,5=7/12x3/2=7/8(quảng đường)

quảng đường AB là:

15x8=120(km)

Xem lại đề đi bạnn

Trả lời đúng giúp mình.

ĐKXĐ: \(1< x\le\dfrac{3}{2}\)

/x-1/+x-2/=1 (1)

Bảng xét dấu:

TH1: x<1 thì (1) <=> 1-x+2-x=1

                                   -2x + 3 = 1

                                    - 2x      = -1

                                        x        = 1 (KTM)

TH2:với 1< hoặc = x bé hơn hoặc = 2 thì ta có:

(1) <=> x-1+2-x=1

             0x + 1  = 1

             0x         = 0 ( vô lý ) => (KTM)

TH3: với x>2 thì ta có:

(1) <=> x-1+x-2=1

             2x  -3    = 1

             2x          = 4

              x            = 2

vậy k có giá trị nào thỏa mãn

\(\Leftrightarrow|^{ }_{ }x-1|^{ }_{ }+|^{ }_{ }2-x|^{ }_{ }=1\)

co \(|^{ }_{ }x-1|^{ }_{ }\ge x-1\)voi moi x

\(|^{ }_{ }2-x|^{ }_{ }\ge2-x\)voi moi x

\(\Rightarrow|^{ }_{ }x-1|^{ }_{ }+|^{ }_{ }2-x|^{ }_{ }\ge x-1+2-x=1\)

dau bang xay ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1\ge0\\2-x\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge1\\x\le2\end{cases}}\Leftrightarrow1\le x\le2\)